Question

2．已知函數(shù)f（x）=ax²-|x|+2a-1（a為實(shí)常數(shù)）．
（1）若a=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a＞0，設(shè)f（x）在區(qū)間[1，2]的最大值為g（a），求g（a）的表達(dá)式；
（3）設(shè)h（x）=$\frac{f（x）}{x}$，若函數(shù)h（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a=1，f（x）=x²-|x|+1，對x分類討論，通過配方，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（2）由于a＞0，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）=ax²-x+2a-1=a$（x-\frac{1}{2a}）^{2}$+2a-$\frac{1}{4a}$-1．對a分類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（3）h（x）=ax+$\frac{2a-1}{x}$-1在區(qū)間[1，2]上任取x₁、x₂，可得h（x₂）-h（x₁）=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$[ax₁x₂-（2a-1）]＞0，可得：ax₁x₂-（2a-1）＞0對任意x₁、x₂∈[1，2]，且x₁＜x₂都成立，即ax₁x₂＞2a-1．對a分類討論即可得出．

解答 解：（1）a=1，f（x）=x²-|x|+1=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x+1，x≥0}\\{{x}^{2}+x+1，x＜0}\end{array}\right.$
=$\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}，x≥0}\\{（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}，x＜0}\end{array}\right.$．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（$\frac{1}{2}$，+∞），（-$\frac{1}{2}$，0）．
f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，$-\frac{1}{2}$]，（0，$\frac{1}{2}$）．
（2）由于a＞0，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）=ax²-x+2a-1=a$（x-\frac{1}{2a}）^{2}$+2a-$\frac{1}{4a}$-1．
①若$0＜\frac{1}{2a}$＜1，即a$＞\frac{1}{2}$，則f（x）在[1，2]為增函數(shù)g（a）=f（2）=6a-3．
②若$1≤\frac{1}{2a}$≤$\frac{3}{2}$，即$\frac{1}{3}≤a≤\frac{1}{2}$，g（a）=f（2）=6a-3．
③若$\frac{3}{2}＜\frac{1}{2a}$≤2，即$\frac{1}{4}≤a＜\frac{1}{3}$時(shí)，
④若$\frac{1}{2a}≥2$，即$0＜a≤\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）在[1，2]上是減函數(shù)：g（a）=f（1）=3a-2．
綜上可得g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{6a-3，\frac{1}{3}≤a＜\frac{1}{2}}\\{3a-2，0＜a＜\frac{1}{3}}\end{array}\right.$．
（3）h（x）=ax+$\frac{2a-1}{x}$-1在區(qū)間[1，2]上任取x₁、x₂，
則h（x₂）-h（x₁）=ax₂+$\frac{2a-1}{{x}_{2}}$-1-$（a{x}_{1}+\frac{2a-1}{{x}_{1}}-1）$=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$[ax₁x₂-（2a-1）]（*）
∵h(yuǎn)（x）在[1，2]上是增函數(shù)，∴h（x₂）-h（x₁）＞0，
∴（*）可轉(zhuǎn)化為ax₁x₂-（2a-1）＞0對任意x₁、x₂∈[1，2]，且x₁＜x₂都成立，即ax₁x₂＞2a-1．
①當(dāng)a=0時(shí)，上式顯然成立．
②a＞0，x₁x₂＞$\frac{2a-1}{a}$，由1＜x₁x₂＜4得$\frac{2a-1}{a}$≤1，解得0＜a≤1．
③a＜0，x₁x₂＜$\frac{2a-1}{a}$，由1＜x₁x₂＜4得，$\frac{2a-1}{a}$≥4，解得-$\frac{1}{2}≤$a＜0．
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是$[-\frac{1}{2}，1]$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．