Question

12．已知關(guān)于x的不等式|x+1|+|x-1|＜4的解集為M．
（1）設(shè)Z是整數(shù)集，求Z∩M；
（2）當(dāng)a，b∈M時(shí)，證明：2|a+b|＜|4+ab|．

Answer 1

分析 （1）利用絕對(duì)值的幾何意義，解出M，利用Z是整數(shù)集，求Z∩M；
（2）當(dāng)a，b∈M時(shí)，利用作差法證明：2|a+b|＜|4+ab|．

解答 （1）解：|x+1|+|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}-2x，x＜-1\\ 2，-1≤x≤1，2x，x＞1\end{array}$當(dāng)
x＜-1時(shí)，由-2x＜4，得-2＜x＜-1；當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f（x）=2＜4；當(dāng)x＞1時(shí)，由2x＜4，得1＜x＜2．
所以M=（-2，2），故Z∩M={-1，0，1}}．
（2）證明：當(dāng)a，b∈M即-2＜a，b＜2，
∵4（a+b）²-（4+ab）²=4（a²+2ab+b²）-（16+8ab+a²b²）=（a²-4）（4-b²）＜0，
∴4（a+b）²＜（4+ab）²，∴2|a+b|＜|4+ab|．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的解法，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．