Question

18．設F₁，F(xiàn)₂是橢圓E的兩個焦點，P為橢圓E上的點，以PF₁為直徑的圓經(jīng)過F₂，若tan∠PF₁F₂=$\frac{{2\sqrt{5}}}{15}$，則橢圓E的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{6}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，結合已知及橢圓定義把|PF₁|、|PF₂|用a，c表示，再由勾股定理求得答案．

解答 解：如圖，
∵以PF₁為直徑的圓經(jīng)過F₂，
∴PF₂⊥F₁F₂，又tan∠PF₁F₂=$\frac{{2\sqrt{5}}}{15}$，
∴$\frac{|P{F}_{2}|}{2c}=\frac{2\sqrt{5}}{15}$，則$|P{F}_{2}|=\frac{4\sqrt{5}}{15}c$，
由|PF₁|+|PF₂|=2a，得|PF₁|=$2a-\frac{4\sqrt{5}}{15}c$，
在Rt△PF₂F₁中，得$（2c）^{2}+（\frac{4\sqrt{5}}{15}c）^{2}=（2a-\frac{4\sqrt{5}}{15}c）^{2}$，
即${e}^{2}+\frac{4\sqrt{5}}{15}e-1=0$，
解得：${e}_{1}=\frac{\sqrt{5}}{3}$或${e}_{2}=-\frac{3\sqrt{5}}{5}$（舍）．
∴橢圓E的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，著重考查橢圓定義的應用，是中檔題．