Question

8．對(duì)于函數(shù)f（x），若存在實(shí)數(shù)對(duì)（a，b），使得等式f（a+x）•f（a-x）=b對(duì)定義域中的每一個(gè)x都成立，則稱函數(shù)f（x）是“（a，b）型函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)f（x）=4^x是否為“（a，b）型函數(shù)”，并說(shuō)明理由；
（2）已知函數(shù)g（x）是“（1，4）型函數(shù)”，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，g（x）=x²-m（x-1）+1（m＞0），若當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，都有1≤g（x）≤3成立，試求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用定義，直接判斷求解即可．
（2）由題意得，g（1+x）g（1-x）=4，所以當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，$g（x）=\frac{4}{g（2-x）}$，其中2-x∈[0，1]，
而x∈[0，1]時(shí)，g（x）=x²+m（1-x）+1=x²-mx+m+1＞0，且其對(duì)稱軸方程為$x=\frac{m}{2}$，通過(guò)①當(dāng)$\frac{m}{2}＞1$，②當(dāng)$\frac{1}{2}≤\frac{m}{2}≤1$，③當(dāng)$0＜\frac{m}{2}≤\frac{1}{2}$，求出函數(shù)的值域，然后推出所求m的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=4^x是“（a，b）型函數(shù)”…（2分）
因?yàn)橛蒮（a+x）•f（a-x）=b，得16^a=b，所以存在這樣的實(shí)數(shù)對(duì)，如a=1，b=16…（5分）
（2）由題意得，g（1+x）g（1-x）=4，所以當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，$g（x）=\frac{4}{g（2-x）}$，其中2-x∈[0，1]，
而x∈[0，1]時(shí)，g（x）=x²+m（1-x）+1=x²-mx+m+1＞0，且其對(duì)稱軸方程為$x=\frac{m}{2}$，
①當(dāng)$\frac{m}{2}＞1$，即m＞2時(shí)，g（x）在[0，1]上的值域?yàn)閇g（1），g（0）]，即[2，m+1]，則g（x）在[0，2]上的值域?yàn)?[2，m+1]∪[\frac{4}{m+1}，2]=[\frac{4}{m+1}，m+1]$，由題意得$\left\{{\begin{array}{l}{m+1≤3}\\{\frac{4}{m+1}≥1}\end{array}}\right.$，此時(shí)無(wú)解…（11分）
②當(dāng)$\frac{1}{2}≤\frac{m}{2}≤1$，即1≤m≤2時(shí)，g（x）的值域?yàn)?[g（\frac{m}{2}），g（0）]$，即$[m+1-\frac{m^2}{4}，m+1]$，所以則g（x）在[0，2]上的值域?yàn)?[m+1-\frac{m^2}{4}，m+1]∪[\frac{4}{m+1}，\frac{4}{{m+1-\frac{m^2}{4}}}]$，則由題意得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{4}{{m+1-\frac{m^2}{4}}}≤3}\\{m+1≤3}\end{array}}\right.$且$\left\{{\begin{array}{l}{m+1-\frac{m^2}{4}≥1}\\{\frac{4}{m+1}≥1}\end{array}}\right.$，
解得1≤m≤2…（13分）
③當(dāng)$0＜\frac{m}{2}≤\frac{1}{2}$，即0＜m≤1時(shí)，g（x）的值域?yàn)?[g（\frac{m}{2}），g（1）]$，即$[m+1-\frac{m^2}{4}，2]$，則g（x）在[0，2]上的值域?yàn)?[m+1-\frac{m^2}{4}，2]∪[2，\frac{4}{{m+1-\frac{m^2}{4}}}]$=$[m+1-\frac{m^2}{4}，\frac{4}{{m+1-\frac{m^2}{4}}}]$，
則$\left\{{\begin{array}{l}{m+1-\frac{m^2}{4}≥1}\\{\frac{4}{{m+1-\frac{m^2}{4}}}≤3}\end{array}}\right.$，解得$2-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}≤m≤1$．
綜上所述，所求m的取值范圍是$2-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}≤m≤2$…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，新定義的應(yīng)用，抽象函數(shù)以及分類討論思想的轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．