Question

設(shè)橢圓C： (a>b>0)的離心率為，過原點(diǎn)O斜率為1的直線與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，橢圓右焦點(diǎn)F到直線l的距離為.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)P是橢圓上異于M，N外的一點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率存在且不為零時(shí)，記直線PM的斜率為k1，直線PN的斜率為k2，試探究k1·k2是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由．

 

Answer 1

(1)；(2) k1·k2是為定值－.

【解析】

試題分析：(1)由橢圓C： (a>b>0)的離心率為可得,又由橢圓右焦點(diǎn)F(c,0)到直線l的距離為,由點(diǎn)到直線的距離公式得＝，從而求得c的值，代入求得a的值；再注意到從而求得b的值,因此就可寫出所求橢圓C的方程; (2)由過原點(diǎn)O斜率為1的直線方程為：y=x，聯(lián)立橢圓C與直線L的方程就可求出M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由過兩點(diǎn)的直線的斜率公式就可用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出kPM·kPN，再注意點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足橢圓C的方程，從而就可求出k1·k2＝kPM·kPN是否與點(diǎn)P的坐標(biāo)有關(guān)，若與點(diǎn)P的坐標(biāo)無關(guān)則k1·k2的值為定值；否則不為定值．

試題解析：(1)設(shè)橢圓的焦距為2c(c>0)，焦點(diǎn)F(c,0)，直線l：x－y＝0，

F到l的距離為＝，解得c＝2，

又∵e＝＝，∴a＝2，∴b＝2.

∴橢圓C的方程為.

(2)由解得x＝y(tǒng)＝，或x＝y(tǒng)＝－，

不妨設(shè)M，N，P(x，y)，

∴kPM·kPN＝

由，即，代入化簡得k1·k2＝kPM·kPN＝－為定值．

考點(diǎn)：１．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；２．直線與橢圓的位置關(guān)系．