Question

8．已知函數(shù)f（x）=sin（π-ωx）cosωx+cos²ωx（ω＞0）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的$\frac{1}{2}$，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{16}}$]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用誘導公式及降冪公式變形，再由輔助角公式化簡，利用周期公式求得周期；
（Ⅱ）由三角函數(shù)的圖象變換求得函數(shù)g（x）的解析式，由x的范圍求得相位的范圍，則函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{16}}$]上的值域可求．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=sin（π-ωx）cosωx+cos²ωx，
得$f（x）=sinωxcosωx+{cos^2}ωx=\frac{1}{2}sin2ωx+\frac{1+cos2ωx}{2}$
=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2ωx+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$，
∴T=$\frac{2π}{2ω}=π$，得ω=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）$f（x）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$，
∴$g（x）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2•2x+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（4x+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$，
∵$0≤x≤\frac{π}{16}$，∴$\frac{π}{4}≤4x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}$，
∴$\frac{{\sqrt{2}}}{2}≤sin（4x+\frac{π}{4}）≤1$，∴$g（x）∈[{1，\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}}]$．

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應用，考查y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質，訓練了數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．