Question

20．已知函數(shù)f（x）=x³-x，如果過(guò)點(diǎn)（2，m）可作曲線y=f（x）的三條切線，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)M（t，f（t））的曲線y=f（x）的切線方程為 y=（3t²-1）x-2t³，如果過(guò)點(diǎn)（2，m）可作曲線y=f（x）的三條切線，則 2t³-6t²+2+m=0 有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
利用導(dǎo)數(shù)求得2t³-6t²+2+m的極大值和極小值，可得m的范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x³-x，∴f′（x）=3x²-1，過(guò)點(diǎn)M（t，f（t））的曲線y=f（x）的切線方程為y-f（t）=f′（t）（x-t），
即y=（3t²-1）x-2t³．
若有一條切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，m），則存在實(shí)數(shù)t，使m=-2t³+6t²-2．
如果過(guò)點(diǎn)（2，m）可作曲線y=f（x）的三條切線，則方程m=-2t³+6t²-2 有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
即 2t³-6t²+2+m=0 有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．
令g（t）=2t³-6t²+m+2，則g′（t）=6t（t-2），令g′（t）=0，求得t=0，或 t=2，
當(dāng)t＜0時(shí)或t＞2時(shí)，g′（t）＞0，函數(shù)g（t）單調(diào)遞增，當(dāng)0＜t＜2時(shí)，函數(shù)g（t）單調(diào)遞減，
故當(dāng)t=0時(shí)，函數(shù)g（t）取得極大值為2+m；當(dāng)t=2時(shí)，函數(shù)g（t）取得極小值為m-6，
要使方程g（t）=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，只有-2＜m＜6．
即如果過(guò)（2，m）可作曲線y=f（x）的三條切線，則m∈（-2，6）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，方程根的存在性以及個(gè)數(shù)判斷，屬于中檔題．