Question

13．棱長為1的正四面體ABCD中，E為棱AB上一點（不含A，B兩點），點E到平面ACD和平面BCD的距離分別為a，b，則$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最小值為（　�。�

• A． 2
• B． $2\sqrt{3}$
• C． $\frac{{7\sqrt{6}}}{3}$
• D． $2\sqrt{6}$

Answer 1

分析 連結(jié)CE，DE，利用V_A-BCD=V_E-BCD+V_E-ACD推出$\frac{{\sqrt{6}}}{3}=a+b$，利用基本不等式求解表達式的最值．

解答 解：連結(jié)CE，DE，由正四面體棱長為1，O為底面三角形BCD的中心，正四角椎的高為：$OA=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
由于V_A-BCD=V_E-BCD+V_E-ACD，有$\frac{{\sqrt{6}}}{3}=a+b$，由$a+b≥2\sqrt{ab}$可得$\frac{1}{ab}≥\frac{4}{{{{（a+b）}^2}}}=6$，
所以$\frac{1}{a}+\frac{1}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}•\frac{1}{ab}≥2\sqrt{6}$．
故選：D．

點評 本題考查空間幾何體的體積的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．