Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₁=1，a_na_n+1=2ⁿ，則S₂₀=（　�。�

• A． 3066
• B． 3063
• C． 3060
• D． 3069

Answer 1

分析 由a₁=1，a_na_n+1=2ⁿ，可得：n=1時(shí)，a₂=2．n≥2時(shí)，$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=2，數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，公比為2．利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a_na_n+1=2ⁿ，
∴n=1時(shí)，a₂=2．
n≥2時(shí)，$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=2，
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，公比為2．
則S₂₀=（a₁+a₃+…+a₁₉）+（a₂+a₄+…+a₂₀）
=$\frac{{2}^{10}-1}{2-1}$+$\frac{2（{2}^{10}-1）}{2-1}$=3×1023=3069．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．