Question

18．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，3^n-1a_n=3^n-2a_n-1-2•3^n-2+2（n≥2），S_n是數(shù)列{$\frac{{a}_{n}+1}{n}$}的前n項(xiàng)和，當(dāng)不等式$\frac{（{3}^{m}+1）（{S}_{n}-m）}{{3}^{m}（{S}_{n+1}-m）}＜1$（m∈N^*）恒成立時(shí)，m•n的所有可能取值為1，2，4．

Answer 1

分析 由3^n-1a_n=3^n-2a_n-1-2•3^n-2+2（n≥2），可得：3ⁿa_n-3^n-1a_n-1=6-2×3^n-1．利用“累加求和”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得：a_n=$\frac{6n-{3}^{n}}{{3}^{n}}$，于是$\frac{{a}_{n}+1}{n}$=$\frac{2}{{3}^{n-1}}$．可得數(shù)列{$\frac{{a}_{n}+1}{n}$}的前n項(xiàng)和S_n=$3-\frac{1}{{3}^{n-1}}$．不等式$\frac{（{3}^{m}+1）（{S}_{n}-m）}{{3}^{m}（{S}_{n+1}-m）}＜1$（m∈N^*）化為：$\frac{（{3}^{m}+1）（3-\frac{1}{{3}^{n-1}}-m）}{{3}^{m}（3-\frac{1}{{3}^{n}}-m）}$＜1，對m分類討論即可得出．

解答 解：∵3^n-1a_n=3^n-2a_n-1-2•3^n-2+2（n≥2），
∴3ⁿa_n-3^n-1a_n-1=6-2×3^n-1．
∴3ⁿa_n=（3ⁿa_n-3^n-1a_n-1）+$（{3}^{n-1}{a}_{n-1}-{3}^{n-2}{a}_{n-2}）$+…+（3²a₂-3a₁）+3a₁
=（6-2×3^n-1）+（6-2×3^n-2）+…+（6-2×3）+3
=6（n-1）-2×$\frac{3（{3}^{n-1}-1）}{3-1}$+3=6n-3ⁿ，
∴a_n=$\frac{6n-{3}^{n}}{{3}^{n}}$（n=1時(shí)也成立）．
∴$\frac{{a}_{n}+1}{n}$=$\frac{2}{{3}^{n-1}}$．
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}+1}{n}$}的前n項(xiàng)和S_n=$2×\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$=$3-\frac{1}{{3}^{n-1}}$．
不等式$\frac{（{3}^{m}+1）（{S}_{n}-m）}{{3}^{m}（{S}_{n+1}-m）}＜1$（m∈N^*）化為：$\frac{（{3}^{m}+1）（3-\frac{1}{{3}^{n-1}}-m）}{{3}^{m}（3-\frac{1}{{3}^{n}}-m）}$＜1（*），
m=1時(shí)，化為：2•3^n-1＜3，n=1時(shí)成立．此時(shí)mn=1．
m=2時(shí)，化為：3ⁿ＜21，n=1，2時(shí)成立．此時(shí)mn=2，或4．
m≥3時(shí)，3^m+1＞3^m，$\frac{3-\frac{1}{{3}^{n-1}}-m}{3-\frac{1}{{3}^{n}}-m}$=$\frac{m+\frac{1}{{3}^{n-1}}-3}{m+\frac{1}{{3}^{n}}-3}$＞1，∴$\frac{（{3}^{m}+1）（3-\frac{1}{{3}^{n-1}}-m）}{{3}^{m}（3-\frac{1}{{3}^{n}}-m）}$＞1，因此上式（*）不成立．
綜上可得：m•n的所有可能取值為1，2，4．
故答案為：1，2，4．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系、不等式的性質(zhì)，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．