Question

11．若f（$\sqrt{x}$-1）=x+a．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及定義域；
（2）若f（x）＞0對(duì)任意的x≥0恒成立，求a取值范圍．

Answer 1

分析 本題屬函數(shù)章節(jié)的常規(guī)題型．第1題主要考察換元法求函數(shù)的解析式，故可令t=$\sqrt{x}$-1（t≥-1），求出x=（t+1）²．
第2題則利用一元二次函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合給定定義域，求出函數(shù)f（x）的最小值即可．

解答 解：（1）令t=$\sqrt{x}$-1（t≥-1），則x=（t+1）²，
∴f（t）=（t+1）²+a （t≥-1）
∴函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=（x+1）²+a，定義域?yàn)閇-1，+∞）．
（2）由f（x）=（x+1）²+a （x≥-1）知，f（x）在[-1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以對(duì)于任意的x≥0，函數(shù)f（x）在x=0處的取得最小值為f（0）=a+1．
要使得f（x）＞0恒成立，只需最小值f（0）＞0即可，∴a+1＞0⇒a＞-1
所以a的取值范圍為a＞-1．

點(diǎn)評(píng) 利用換元法求函數(shù)解析式，利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的在給定區(qū)間上的最小值是高中階段常用方法．