Question

8．定義在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的函數(shù)f（x）=1+sinxcos2x，在x=θ時(shí)取得最小值，則sinθ=$-\frac{\sqrt{6}}{6}$．

Answer 1

分析 求函數(shù)f（x）進(jìn)行化簡，利用導(dǎo)函數(shù)研究f（x）的單調(diào)性，求出在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的函數(shù)f（x）的最小值是的角，可求sinθ的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=1+sinxcos2x，
化簡得：f（x）=1+sinx（1-2sin²x）=sinx-2sin³x+1．
令sinx=t，x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]⇒sinx∈[$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
則f（x）=sinx-2sin³x+1轉(zhuǎn)化為g（t）=t-2t³+1，$-\frac{\sqrt{2}}{2}$≤t$≤\frac{\sqrt{2}}{2}$．
那么：g′（t）=1-6t²．
令g′（t）=0，
解得：t=$\frac{1}{\sqrt{6}}$或t=$-\frac{1}{\sqrt{6}}$
由導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)可知：g（t）在（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$-\frac{\sqrt{6}}{6}$）是單調(diào)遞減，在（$-\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$）是單調(diào)遞增，
故而當(dāng)t=$-\frac{1}{\sqrt{6}}$時(shí)，g（t）取得最小值，即f（x）取得最小值；
∵sinx=t，即sinx=$-\frac{1}{\sqrt{6}}$．
所以得在x=θ時(shí)取得最小值，則sinθ=$-\frac{1}{\sqrt{6}}$．
故答案為：$-\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評 本題利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的問題，利用了換元的思想．屬于中檔題．