Question

證明下列恒等式：
（1）1+sinα=（sin

α

2

+cos

α

2

）²；
（2）

1+sin2α-cos2α

1+sin2α+cos2α

=tanα；
（3）

1+sinα

cosα

=

1+tan α 2

1-tan α 2

；
（4）tanα+cotα=

2

sin2α

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)恒等式的證明

專題：證明題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）由右邊化簡(jiǎn)，運(yùn)用平方關(guān)系和二倍角公式，即可得證；
（2）運(yùn)用二倍角的正弦和余弦公式，由左邊證得右邊；
（3）由左邊運(yùn)用平方關(guān)系和二倍角公式，因式分解，即可得到右邊；
（4）由左邊運(yùn)用切化弦，結(jié)合配方關(guān)系和二倍角的正弦公式，即可得到右邊．

解答： 證明：（1）由于（sin

α

2

+cos

α

2

）²=sin²

α

2

+cos²

α

2

+2sin

α

2

cos

α

2

=1+sinα，
則有1+sinα=（sin

α

2

+cos

α

2

）²；
（2）

1+sin2α-cos2α

1+sin2α+cos2α

=

(1-cos2α)+sin2α

(1+cos2α)+sin2α

=

2sin2α+2sinαcosα

2cos2α+2sinαcosα

=

2sinα(sinα+cosα)

2cosα(cosα+sinα)

=tanα，
則

1+sin2α-cos2α

1+sin2α+cos2α

=tanα；
（3）

1+sinα

cosα

=

sin2 α 2 +cos2 α 2 +2sin α 2 cos α 2

cos2 α 2 -sin2 α 2

=

(cos α 2 +sin α 2 )2

(cos α 2 -sin α 2 )(cos α 2 +sin α 2 )

=

cos α 2 +sin α 2

cos α 2 -sin α 2

=

1+tan α 2

1-tan α 2

．
則

1+sinα

cosα

=

1+tan α 2

1-tan α 2

；
（4）tanα+cotα=

sinα

cosα

+

cosα

sinα

=

sin2α+cos2α

sinαcosα

=

1

1 2 sin2α

=

2

sin2α

．
即有tanα+cotα=

2

sin2α

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角恒等式的證明，考查同角的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系的運(yùn)用，考查二倍角公式的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的能力，屬于基礎(chǔ)題．