Question

18．如圖，已知CD是△ABC中AB邊上的高，以CD為直徑的⊙O分別交CA、CB于點E，F(xiàn)，點G是AD的中點
（1）求證：GE是⊙O的切線；
（2）若GE=BD=2，EC=$\frac{9}{5}$，求BC值．

Answer 1

分析 （1）作出半徑并說明半徑與GE垂直，所以需要再連接OG，只要證明△OEG≌△ODG就可以了；
（2）由切割線定理，求出AE，AC，可得DC，BC．

解答 （1）證明：連接OE，OG；（1分）
∵AG=GD，CO=OD，
∴OG是△ACD的中位線，
∴OG∥AC．（2分）
∴∠OEC=∠GOE，∠ACD=∠GOD．（3分）
∵OE=OC，
∴∠ACD=∠OEC．
∴∠GOD=∠GOE．（5分）
∵OE=OD，OG=OG，
∴△OEG≌△ODG．（6分）
∴∠OEG=∠ODG=90°．
∴GE是⊙O的切線（7分）；
（2）解：由（1）得，AD=2GE=4，
∵AD是⊙O的切線，
∴AD²=AE•AC，
∴16=AE（AE+$\frac{9}{5}$），
∴AE=3.2，
∴AC=5，
∴DC=$\sqrt{25-16}$=3，
∴$BC=\sqrt{4+9}$=$\sqrt{13}$．（10分））

點評 本題考查切線的判定和相似三角形的判定，考查切割線定理的運用，屬于中檔題．