Question

10．函數(shù)y=$\frac{{2}^{x}sin（\frac{5π}{2}+6x）}{{4}^{x}-1}$的圖象大致為（　�。�

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 通過(guò)判斷函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性及特殊點(diǎn)結(jié)合選項(xiàng)來(lái)選出答案．

解答 解：f（x）=$\frac{{2}^{x}cos6x}{{4}^{x}-1}$，
f（-x）=$\frac{{2}^{-x}cos（-6x）}{{4}^{-x}-1}$=$\frac{{2}^{x}cos6x}{1-{4}^{x}}$=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．排除A．
令f（x）=0得cos6x=0，
x=$\frac{kπ}{6}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
∴f（x）的最小正零點(diǎn)為x=$\frac{π}{12}$．
當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{12}$），2^x＞0，cos6x＞0，4^x-1＞0，
∴當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{12}$）時(shí)，f（x）＞0，排除C．
∵f（x）=$\frac{{2}^{x}cos6x}{{4}^{x}-1}$=$\frac{cos6x}{{2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}}$，
∴當(dāng)x→+∞時(shí)，-1≤cos6x≤1，2^x→+∞，$\frac{1}{{2}^{x}}$→0，
∴當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→0．排除D．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)圖象的判斷，屬于中檔題．