Question

【題目】（分）如圖，在三棱錐中，底面為等邊三角形，，，為的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：．

（Ⅱ）判斷在線段上是否存在點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），使得為直角三角形？若存在，試找出一個(gè)點(diǎn)，并求的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）當(dāng)時(shí)，為直角三角形．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)正三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)勾股定理可得，由線面垂直證的判定定理可得平面，由線面垂直的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）在（1）基礎(chǔ)上可知平面與平面的垂直性，所以只需過(guò)作交線的垂線，由線線垂直線面垂直，再由線面垂直線線垂直，證明直角三角形的存在性，在上述條件下分別求出，，從而求出的值即可.

試題解析：

（Ⅰ）證明：如圖，連結(jié)，

∵在等邊中，是的中點(diǎn)，且，

∴，，

∵在直角中，是斜邊的中點(diǎn)，且，

∴，

在中，由，得，

∴，

又∵，平面，平面，

∴平面，

又∵平面，

∴．

（Ⅱ）解：線段上存在點(diǎn)使得為直角三角形，此時(shí)，

如圖，過(guò)作于點(diǎn)，連結(jié)，

∵平面，

∴，

又∵，平面，平面，

∴平面，

∴，

即為直角三角形，

故當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，為直角三角形，

在直角中，由，，，

得（即），（即），

當(dāng)時(shí)，為直角三角形．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面垂直性質(zhì)與判定、線線垂直的證明，屬于難題. 證明直線和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推論；（3）利用面面平行的性質(zhì)；（4）利用面面垂直的性質(zhì)，當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面.本題的解答一直圍繞線面垂直與線線垂直的互相轉(zhuǎn)化進(jìn)行.