【題目】分)如圖,在三棱錐中,底面為等邊三角形,,的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證:

(Ⅱ)判斷在線段上是否存在點(diǎn)(與點(diǎn)不重合),使得為直角三角形?若存在,試找出一個(gè)點(diǎn),并求的值;若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)當(dāng)時(shí),為直角三角形.

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)正三角形的性質(zhì)可得根據(jù)勾股定理可得,由線面垂直證的判定定理可得平面,由線面垂直的性質(zhì)可得結(jié)論;(2)(1)基礎(chǔ)上可知平面平面的垂直性,所以只需過(guò)作交線的垂線,由線線垂直線面垂直再由線面垂直線線垂直,證明直角三角形的存在性,在上述條件下分別求出,從而求出的值即可.

試題解析

Ⅰ)證明:如圖,連結(jié),

∵在等邊中,的中點(diǎn),且,

,,

∵在直角中,是斜邊的中點(diǎn),且

,

中,由,得

,

又∵平面,平面,

平面

又∵平面,

Ⅱ)解:線段上存在點(diǎn)使得為直角三角形,此時(shí),

如圖,過(guò)于點(diǎn),連結(jié)

平面,

,

又∵,平面,平面,

平面,

,

為直角三角形,

故當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),為直角三角形,

在直角中,由,,,

(即),(即),

當(dāng)時(shí),為直角三角形.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面垂直性質(zhì)與判定、線線垂直的證明,屬于難題. 證明直線和平面垂直的常用方法有:(1)利用判定定理;(2)利用判定定理的推論;(3)利用面面平行的性質(zhì);(4)利用面面垂直的性質(zhì),當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí),在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面.本題的解答一直圍繞線面垂直與線線垂直的互相轉(zhuǎn)化進(jìn)行.

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(2)該校根據(jù)三個(gè)社團(tuán)活動(dòng)安排情況,對(duì)進(jìn)入“攝影”社的同學(xué)增加校本選修字分1分,對(duì)進(jìn)入“棋類(lèi)”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分2分,對(duì)進(jìn)入“國(guó)學(xué)”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分3分.求該新同學(xué)在社團(tuán)方面獲得校本選修課字分分?jǐn)?shù)的分布列及期望.

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C.[0, ]
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