Question

2．設f（x）=m-$\frac{4}{{3}^{x}+1}$，其中m為常數(shù)
（Ⅰ）若f（x）為奇函數(shù)，試確定實數(shù)m的值；
（Ⅱ）若不等式f（x）+m＞0對一切x∈R恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（x）為R上的奇函數(shù)，可得f（0）=0，解得m=2，再由奇函數(shù)的定義即可判斷；
（Ⅱ）問題轉化為m＞$\frac{4}{{3}^{x}+1}$-2，根據(jù)函數(shù)的單調性求出m的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）若f（x）為奇函數(shù)，即有f（0）=0，即m-$\frac{4}{{3}^{0}+1}$=0，解得m=2，
經(jīng)檢驗f（-x）=-f（x），m=2符合題意；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=2-$\frac{4}{{3}^{x}+1}$，
若不等式f（x）+m＞0對一切x∈R恒成立，
即m＞$\frac{4}{{3}^{x}+1}$-2，
當x→-∞時，$\frac{4}{{3}^{x}+1}$-2→2，
故m≥2．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調性的判斷和運用，考查不等式成立問題的解法，考查運算能力，屬于中檔題．