Question

14．我市某蘋果手機專賣店針對蘋果6S手機推出無抵押分期付款購買方式，該店對最近購買蘋果6S手機的100人進行統(tǒng)計（注：每人僅購買一部手機），統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：

付款方式	分1期	分2期	分3期	分4期	分5期
頻數(shù)	35	25	a	10	b

已知分3期付款的頻率為0.15，請以此100人作為樣本估計消費人群總體，并解決以下問題：
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求“購買手機的3名顧客中（每人僅購買一部手機），恰好有1名顧客分4期付款”的概率；
（Ⅲ）若專賣店銷售一部蘋果6S手機，顧客分1期付款（即全款），其利潤為1000元；分2期或3期付款，其利潤為1500元；分4期或5期付款，其利潤為2000元．用X表示銷售一部蘋果6S手機的利潤，求X的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意得$\frac{a}{100}=0.15$，由此能求出a，b．
（Ⅱ）設事件A為“購買一部手機的說名顧客中，恰好有1名顧客分4期付款”，由題意得：隨機抽取一位購買者，分4期付款的概率為0.1，由此能求出“購買手機的3名顧客中（每人僅購買一部手機），恰好有1名顧客分4期付款”的概率．
（Ⅲ）記分期付款的期數(shù)為ξ，依題意得P（ξ=1）=0.35，P（ξ=2）=0.25，P（ξ=3）=0.15，P（ξ=4）=0.1，P（ξ=5）=0.15，X的可能取值為1000元，1500元，2000元，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學期望．

解答 解：（Ⅰ）由題意得$\frac{a}{100}=0.15$，∴a=15，
又35+25+a+10+b=100，
解得b=15．
（Ⅱ）設事件A為“購買一部手機的說名顧客中，恰好有1名顧客分4期付款”，
由題意得：隨機抽取一位購買者，分4期付款的概率為0.1，
∴P（A）=${C}_{3}^{1}×0.1×0．{9}^{2}$=0.243．
（Ⅲ）記分期付款的期數(shù)為ξ，依題意得P（ξ=1）=0.35，
P（ξ=2）=0.25，P（ξ=3）=0.15，P（ξ=4）=0.1，P（ξ=5）=0.15，
∵X的可能取值為1000元，1500元，2000元，
P（X=1000）=P（ξ=1）=0.35，
P（X=1500）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.4，
P（X=2000）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=0.25，
∴X的分布列為：

X	1000	1500	2000
P	0.35	0.4	0.25

∴EX=1000×0.35+1500×0.4+2000×0.25=1450．

點評 本題考查統(tǒng)計表的應用，考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．