Question

12．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)為S_n，且a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{n+1}{2n}$a_n，則數(shù)列{a_n}的前14項(xiàng)和等于$\frac{2047}{1024}$．

Answer 1

分析 a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{n+1}{2n}$a_n，變形為$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{1}{2}•\frac{{a}_{n}}{n}$，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：$\frac{{a}_{n}}{n}$，再利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：∵a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{n+1}{2n}$a_n，∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{1}{2}•\frac{{a}_{n}}{n}$，
∴數(shù)列$\{\frac{{a}_{n}}{n}\}$是等比數(shù)列，首項(xiàng)與公比都為$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴a_n=n$•\frac{1}{{2}^{n}}$．
∴S_n=$\frac{1}{2}+2×\frac{1}{{2}^{2}}$+$3×\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$n×\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$2×\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+n×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}×\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-n×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．
∴S₁₄=2-$\frac{16}{{2}^{14}}$=$\frac{2047}{1024}$．
故答案為：$\frac{2047}{1024}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．