Question

15．已知點A、B、C都在半徑為$\sqrt{2}$的球面上，且AC⊥BC，∠ABC=30°，球心O到平面ABC的距離為1，點M是線段BC的中點，過點M作球O的截面，則截面面積的最小值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}π}{4}$
• B． $\frac{3π}{4}$
• C． $\sqrt{3}π$
• D． 3π

Answer 1

分析 設(shè)△ABC的中心為O₁，連結(jié)O₁A．根據(jù)球的截面圓性質(zhì)、通過勾股定理，而經(jīng)過點M的球O的截面，當(dāng)截面與OM垂直時截面圓的半徑最小，相應(yīng)地截面圓的面積有最小值，由此算出截面圓半徑的最小值，從而可得截面面積的最小值．

解答 解：∵點A、B、C都在半徑為$\sqrt{2}$的球面上，且AC⊥BC，∠ABC=30°，△ABC是直角三角形，AB的中點為O₁
∴O₁O⊥平面ABC，∵球的半徑R=$\sqrt{2}$，球心O到平面ABC的距離為1，得O₁O=1，
∴Rt△O₁OA中，O₁A=$\sqrt{2-1}$=1．
又∵M為BC的中點，△ABC是直角三角形，∠ABC=30°，∴BC=$\sqrt{3}$，BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵過E作球O的截面，當(dāng)截面與OM垂直時，截面圓的半徑最小，
∴當(dāng)截面與OE垂直時，截面圓的面積有最小值．
此時可得截面面積為S=πr²=$\frac{3π}{4}$．
故選：C．

點評 本題已知球的內(nèi)接正三角形與球心的距離，求經(jīng)過正三角形中點的最小截面圓的面積．著重考查了勾股定理、球的截面圓性質(zhì)與正三角形的性質(zhì)等知識，屬于中檔題．