Question

已知

1

a

+

1

b

+

1

c

=

1

a+b+c

，求證

1

a7

+

1

b7

+

1

c7

=

1

a7+b7+c7

．

Answer 1

考點(diǎn)：綜合法與分析法(選修）

專題：證明題,綜合法

分析：首先把已知等式通分變形得到a²b+ab²+a²c+ac²+b²c+bc²+3abc=abc，然后分解因式得到a²b+ab²+a²c+ac²+b²c+bc²+2abc=（a+b）（b+c）（a+c）=0，由此得到a+b，b+c，c+a中，至少有一個(gè)是0，接著得到當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)aⁿ+bⁿ，bⁿ+cⁿ，aⁿ+cⁿ至少有一個(gè)是0，最后證

1

a7

+

1

b7

+

1

c7

-

1

a7+b7+c7

=0即可，方法也是通分利用前面結(jié)論即可解決問題．

解答：證明：

1

a

+

1

b

+

1

c

=

1

a+b+c

，兩邊同時(shí)乘以abc （abc不等于0）得bc+ac+ab=

abc

a+b+c

，
兩邊同時(shí)乘以a+b+c得，
a²b+ab²+a²c+ac²+b²c+bc²+3abc=abc，
∴a²b+ab²+a²c+ac²+b²c+bc²+2abc=0，
∴a²b+ab²+a²c+ac²+b²c+bc²+2abc=（a+b）（b+c）（a+c）=0，
∴a+b，b+c，c+a中，至少有一個(gè)是0，
故當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)aⁿ+bⁿ，bⁿ+cⁿ，aⁿ+cⁿ至少有一個(gè)是0，
∴

1

a7

+

1

b7

+

1

c7

-

1

a7+b7+c7

=

(a7+b7)(b7+c7)(a7+b7)

a7b7c7(a7+b7+c7)

=0．
∴

1

a7

+

1

b7

+

1

c7

=

1

a7+b7+c7

．

點(diǎn)評：本題考查了由分式等式向整式等式轉(zhuǎn)化的方法，因式分解在整式變形中的作用．幾個(gè)因式的積為0，這幾個(gè)因式中至少有一個(gè)為0．