Question

19．某校為了在競爭中更好的發(fā)展，校領導專門聘請省內外專家組成“學校建設和發(fā)展”專家顧問委員會，項專家接腦、幫助學校制定未來五年發(fā)展規(guī)劃，并召開了座談會，問需于民，問計與民，廣泛征詢專家，普通老師和同學們對學校發(fā)展的意見和建議，此次座談會共邀請了50名代表參加，他們分別是專家20人，普通教師15人，學生15人，現(xiàn)從50名代表中隨機選出3名做典型發(fā)言．
（1）求選出的3名代表中，專家比普通教師多一人的概率；
（2）若記選出的3名代表中專家的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）利用互斥事件概率加法公式能求出選出的3名代表中，專家比普通教師多一人的概率．
（2）由題意ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）∵座談會共邀請了50名代表參加，他們分別是專家20人，普通教師15人，學生15人，現(xiàn)從50名代表中隨機選出3名做典型發(fā)言，
∴選出的3名代表中，專家比普通教師多一人的概率：
$P=\frac{{C_{20}^1C_{15}^0C_{15}^2}}{{C_{50}^3}}+\frac{{C_{20}^2C_{15}^1C_{15}^0}}{{C_{50}^3}}=\frac{3}{28}+\frac{57}{392}=\frac{99}{392}$．（4分）
（2）由題意ξ的可能取值為0，1，2，3，（5分）
又$P（ξ=0）=\frac{{C_{30}^3}}{{C_{50}^3}}=\frac{29}{140}$，
$P（ξ=1）=\frac{{C_{20}^1C_{30}^2}}{{C_{50}^3}}=\frac{87}{196}$，
$P（ξ=2）=\frac{{C_{20}^2C_{30}^1}}{{C_{50}^3}}=\frac{57}{196}$，
$P（ξ=3）=\frac{{C_{20}^3}}{{C_{50}^3}}=\frac{57}{980}$，（9分）
∴隨機變量ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{29}{140}$	$\frac{87}{196}$	$\frac{57}{196}$	$\frac{57}{980}$

∴Eξ=$0×\frac{29}{140}+1×\frac{87}{196}+2×\frac{57}{196}+3×\frac{57}{980}$=$\frac{6}{5}$．（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．