Question

11．如圖，在底面半徑和高均為2的圓錐中，AB、CD是底面圓O的兩條互相垂直的直徑，E是母線PB的中點．已知過CD與E的平面與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點的拋物線的一部分，則該拋物線的焦點到圓錐頂點P的距離為（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{6}$
• D． $\frac{{\sqrt{10}}}{2}$

Answer 1

分析 如圖所示，過點E作EF⊥AB，垂足為F．由于E是母線PB的中點，圓錐的底面半徑和高均為2，可得OF=EF=1．OE=$\sqrt{2}$．在平面CED內(nèi)建立直角坐標系．設(shè)拋物線的方程為y²=2px（p＞0），F(xiàn)為拋物線的焦點．可得C（$\sqrt{2}$，2），代入解出即可．

解答 解：如圖所示，過點E作EF⊥AB，垂足為F．
∵E是母線PB的中點，圓錐的底面半徑和高均為2，
∴OF=EF=1．
∴OE=$\sqrt{2}$．
在平面CED內(nèi)建立直角坐標系．
設(shè)拋物線的方程為y²=2px（p＞0），F(xiàn)為拋物線的焦點．
C（$\sqrt{2}$，2）
∴4=2$\sqrt{2}$p，解得p=$\sqrt{2}$．
F（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0）．
即點F為OE的中點，
∴該拋物線的焦點到圓錐頂點P的距離為$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
故選：D．

點評 本題考查了圓錐的性質(zhì)、拋物線的標準方程，考查了轉(zhuǎn)變角度解決問題的能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．