Question

15．已知AD是△ABC的中線，$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC\;}$（λ，μ∈R），∠A=120°，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-2，則|${\overrightarrow{AD}}$|的最小值是1．

Answer 1

分析 運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義和中點(diǎn)的向量表示形式，及向量的平方即為模的平方，結(jié)合重要不等式即可得到最小值．

解答 解：設(shè)AC=b，AB=c，
又∠A=120°，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-2，
則bccos120°=-2，即有bc=4，
由AD是△ABC的中線，則有$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
即有|${\overrightarrow{AD}}$|²=$\frac{1}{4}$（${\overrightarrow{AB}}^{2}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$）
=$\frac{1}{4}$（b²+c²-4）≥$\frac{1}{4}$（2bc-4）=$\frac{1}{4}$×（8-4）=1．
當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)|${\overrightarrow{AD}}$|的最小值是為1，
故答案為：1．

點(diǎn)評 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，主要考查向量的中點(diǎn)表示形式及向量的平方即為模的平方，運(yùn)用重要不等式是解題的關(guān)鍵．