Question

6．已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2，則此棱錐的體積為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{6}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{6}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意作出圖形，利用截面圓的性質(zhì)即可求出OO₁，進(jìn)而求出底面ABC上的高SD，即可計(jì)算出三棱錐的體積．

解答 解：根據(jù)題意作出圖形：
設(shè)球心為O，過(guò)ABC三點(diǎn)的小圓的圓心為O₁，則OO₁⊥平面ABC，
延長(zhǎng)CO₁交球于點(diǎn)D，則SD⊥平面ABC．
∵CO₁=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴OO₁=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴高SD=2OO₁=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∵△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴V=$\frac{1}{3}$×$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$×$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{6}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三棱錐的體積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，求出點(diǎn)O到平面ABC的距離，進(jìn)而求出點(diǎn)S到平面ABC的距離是關(guān)鍵．