Question

4．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₂=2，S₅=15，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，且b₁=$\frac{1}{2}$，2nb_n+1=（n+1）b_n（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n及前n項和S_n；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項公式b_n及前n項和為T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出．
（2）利用“累乘求積”、“錯位相減法”、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₂=2，S₅=15，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=2}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=15}\end{array}\right.$，解得a₁=d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
∴S_n=$\frac{n（1+n）}{2}$．
（2）∵b₁=$\frac{1}{2}$，2nb_n+1=（n+1）b_n（n∈N^*），
∴$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{n+1}{2n}$，
∴b_n=$\frac{_{n}}{_{n-1}}$$•\frac{_{n-1}}{_{n-2}}$•…$•\frac{_{2}}{_{1}}$•b₁
=$\frac{n}{2（n-1）}$$•\frac{n-1}{2（n-2）}$•…•$\frac{2}{2×1}$×$\frac{1}{2}$
=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
∴前n項和為T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$=…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”、“累乘求積”、“遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．