Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+lnx-mx（m＞0），求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍，確定f′（x）的符號，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=x+$\frac{1}{x}$-m=$\frac{{x}^{2}-mx+1}{x}$，（x＞0，m＞0），
令g（x）=x²-mx+1，對稱軸x=$\frac{m}{2}$＞0，△=m²-4，
①0＜m≤2時，△≤0，g（x）的圖象恒在x軸上方，
即f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
②m＞2時，△＞0，
令g（x）=0，解得：x=$\frac{m±\sqrt{{m}^{2}-4}}{2}$，而$\frac{m-\sqrt{{m}^{2}-4}}{2}$＞0，
∴f（x）在（0，$\frac{m-\sqrt{{m}^{2}-4}}{2}$）遞增，在（$\frac{m-\sqrt{{m}^{2}-4}}{2}$，$\frac{m+\sqrt{{m}^{2}-4}}{2}$）遞減，在（$\frac{m+\sqrt{{m}^{2}-4}}{2}$，+∞）遞增．

點評 本題考查了求函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．