Question

【題目】設函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）當時，討論函數(shù)與圖象的交點個數(shù).

Answer 1

【答案】（１）當時，函數(shù)的單調增區(qū)間是，無減區(qū)間；當時，函數(shù)的單調增區(qū)間是，減區(qū)間是.（２）函數(shù)有唯一零點，

【解析】

試題分析：（１）先求導數(shù)，再在定義區(qū)間內(nèi)研究導函數(shù)零點：當時，，當時，由一個零點，最后列表分析導函數(shù)符號確定單調區(qū)間（２）先構造函數(shù)，求導數(shù)，研究導函數(shù)零點：當時，一個零點；當時,兩個相同零點；當時，兩個不同零點，列表分析對應區(qū)間導函數(shù)符號，確定單調性，最后利用零點存在定理說明零點個數(shù)

試題解析：⑴解：函數(shù)的定義域為，，

當時，，所以函數(shù)的單調增區(qū)間是，無減區(qū)間；

當時，；當時，，函數(shù)的單調遞減；當時，，函數(shù)的單調遞增.

綜上：當時，函數(shù)的單調增區(qū)間是，無減區(qū)間；當時，函數(shù)的單調增區(qū)間是，減區(qū)間是.

⑵解：令，問題等價于求函數(shù)的零點個數(shù)，--5分

當時，，有唯一零點；當時，

當時,，函數(shù)為減函數(shù)，

注意到,，所以有唯一零點；

當時，或時，時，所以函數(shù)在和單調遞減，在單調遞增，注意到，

，所以有唯一零點；

當時，或時，時，

所以函數(shù)在和單調遞減，在單調遞增，意到，

所以，而，所以有唯一零點. -11分

綜上，函數(shù)有唯一零點，即兩函數(shù)圖象總有一個交點.