Question

1．已知函數(shù)f（x）=ln（x²+1），g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-1}$+a．
（1）若f（x）的一個極值點到直線l：2$\sqrt{2}$x+y+a+5=0的距離為1，求a的值；
（2）求方程f（x）=g（x）的根的個數(shù)．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)曲線的解析式求出導(dǎo)函數(shù)，求出極值點，再用距離公式即可；
（II）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），這個函數(shù)有幾個零點就說明有幾個根．然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，并求出函數(shù)的最值，討論最值的取值范圍確定函數(shù)零點的個數(shù)即可求根的個數(shù)．

解答 解：（1）由f′（x）=x2+1（2x）=0，得x=0，
故f（x）僅有一個極小值點M（0，0），
根據(jù)題意得：d=3（|5+a|）=1．∴a=-2或a=-8．
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=ln（x2+1）-x2-1（1）-a，
h′（x）=x2+1（2x）+x2-1（2x）=2xx2-1（1）．
當(dāng)x∈（0，1）∪（1，+∞）時，h′（x）≥0，
當(dāng)x∈（-∞，-1）∪（-1，0）時，h′（x）＜0．
因此，h（x）在（-∞，-1），（-1，0）上時，h（x）單調(diào)遞減，
在（0，1），（1，+∞）上時，h（x）單調(diào)遞增．
又h（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x∈（-1，1）時，h（x）的極小值為h（0）=1-a．
當(dāng)x→-1-時，h（x）→-∞，當(dāng)x→-1+時，h（x）→+∞，
當(dāng)x→-∞時，h（x）→+∞，當(dāng)x→+∞時，h（x）→+∞．
故f（x）=g（x）的根的情況為：
當(dāng)1-a＞0時，即a＜1時，原方程有2個根；
當(dāng)1-a=0時，即a=1時，原方程有3個根．
當(dāng)1-a＜0時，即a＞1時，原方程有4個根．

點評 本題考查利用導(dǎo)函數(shù)來研究函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的從而判定方程的根的個數(shù)，轉(zhuǎn)化思想是關(guān)鍵，屬于中檔題．