已知函數(shù)u(x)=xlnx-lnx,v(x)=x-a,w(x)=
a
x
,三個函數(shù)的定義域均為集合A={x|x>1}.
(1)若u(x)≥v(x)恒成立,滿足條件的實數(shù)a組成的集合為B,試判斷集合A與B的關(guān)系,并說明理由;
(2)記G(x)=[u(x)-w(x)][v(x)-
w(x)
2
],是否存在m∈N*,使得對任意的實數(shù)a∈(m,+∞),函數(shù)G(x)有且僅有兩個零點?若存在,求出滿足條件的最小正整數(shù)m;若不存在,說明理由.(以下數(shù)據(jù)供參考:e≈2.7183,ln(
2
+1)≈0.8814)
考點:導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,函數(shù)恒成立問題
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)u(x)≥v(x)恒成立?a≥x-xlnx+lnx=m(x),則m′(x)=
1
x
-lnx
,x∈(1,+∞).易知m′(x)=
1
x
-lnx
在(1,+∞)上遞減,m'(x)<m'(1)=1,研究其單調(diào)性即可得出最大值.
(2)令f(x)=u(x)-w(x),g(x)=v(x)-
1
2
w(x)
x∈(1,+∞).由零點存在性定理可知:?a∈(1,+∞),函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有且僅有一個零點.同理可知?a∈(1,+∞),函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)有且僅有一個零點.?假設(shè)存在x0使得f(x0)=g(x0)=0,
a=x02lnx0-x0lnx0
x0-a=
a
2x0
,消a得lnx0-
2x0
2x02-x0-1
=0
,令h(x)=lnx-
2x
2x2-x-1
,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出.
解答: 解:(1)u(x)≥v(x)恒成立?a≥x-xlnx+lnx=m(x),則m′(x)=
1
x
-lnx
,x∈(1,+∞).
易知m′(x)=
1
x
-lnx
在(1,+∞)上遞減,
∴m'(x)<m'(1)=1,
存在x0∈(1,+∞),使得m'(x0)=0,函數(shù)m(x)在x∈(1,x0)遞增,在x∈(x0,+∞)遞減.
a≥m(x0).
由m'(x0)=0得lnx0=
1
x0
,
m(x0)=x0-x0
1
x0
+
1
x0
=x0+
1
x0
-1>1

∴B⊆A.
(2)令f(x)=u(x)-w(x)=xlnx-lnx-
a
x
,g(x)=v(x)-
w(x)
2
=x-a-
a
2x
,x∈(1,+∞)

?f′(x)=lnx+1-
1
x
+
a
x2
>0,x∈(1,+∞)
,
由于a∈(m,+∞)⇒a>1,f(1)=-a<0,x→+∞,f(x)→+∞,
由零點存在性定理可知:?a∈(1,+∞),函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有且僅有一個零點.
?g′(x)=1+
a
2x2
>0,x∈(1,+∞)
g(1)=1-
3a
2
<0
,x→+∞,g(x)→+∞,同理可知?a∈(1,+∞),
函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)有且僅有一個零點.
?假設(shè)存在x0使得f(x0)=g(x0)=0,
a=x02lnx0-x0lnx0
x0-a=
a
2x0
,
消a得lnx0-
2x0
2x02-x0-1
=0

h(x)=lnx-
2x
2x2-x-1
,
h′(x)=
1
x
+
4x2+2
(2x2-x-1)2
>0

∴h(x)遞增.
h(2)=ln2-
4
5
=
1
5
ln
32
e4
<0    h(
2
+1)=0.8814-
2
3
>0
,
x0∈(2,
2
+1)
,
此時a=
x02
x0+
1
2
=x0+
1
2
+
1
4(x0+
1
2
)
-1∈(
8
5
,2)

所以滿足條件的最小整數(shù)m=2.
點評:本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值,考查了對于極值存在但是求不出來的情況的解決方法,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
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2
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1
4
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1
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2
1
(x-
1
x
)dx=
 

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