Question

已知函數(shù)f（x）=

9x

1+ax2

（a＞0）．
（1）當(dāng)

1

4

＜a＜4時(shí)，求f（x）在[

1

2

，2]上的最大值；
（2）若直線y=-x+2a為曲線y=f（x）的切線，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）即為

9

ax+ 1 x

，令g（x）=ax+

1

x

，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，求得極小值，也為最小值，即可得到f（x）的最大值；
（2）設(shè)出切點(diǎn)為（m，n），求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，由已知切線的方程可得am²=2或5，再由切點(diǎn)在切線上和曲線上，滿足它們的方程，解方程即可得到a的值．

解答： 解：（1）當(dāng)

1

2

≤x≤2時(shí)，
函數(shù)f（x）=

9x

1+ax2

（a＞0）=

9

ax+ 1 x

，
令g（x）=ax+

1

x

，g′（x）=a-

1

x2

=

ax2-1

x2

=

( a x+1)( a x-1)

x2

，
當(dāng)

1

4

＜a＜4時(shí)，

1

2

＜

1

a

＜2．
當(dāng)

1

a

＜x≤2時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增；
當(dāng)

1

2

≤x＜

1

a

時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減．
即有x=

1

a

處g（x）取得極小值，也為最小值，且為2

a

．
則有f（x）在[

1

2

，2]上的最大值為

9

2 a

．
（2）函數(shù)f（x）=

9x

1+ax2

（a＞0）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=

9(1+ax2)-18ax2

(1+ax2)2

=

9-9ax2

(1+ax2)2

，
設(shè)切點(diǎn)為（m，n），則切線的斜率為k=

9-9am2

(1+am2)2

，又直線y=-x+2a為曲線y=f（x）的切線，即有k=-1，
∴

9-9am2

(1+am2)2

=1，解得am²=2或5，
又n=-m+2a，n=

9m

1+am2

，
當(dāng)am²=2，可得n=3m=2a-m，即a=2m，解得a=2；
當(dāng)am²=5，可得n=

3

2

m=2a-m，即a=

5

8

m，解得a=

5

4

．
故實(shí)數(shù)a的值為2或

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和判斷單調(diào)性、求極值和最值，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用，設(shè)出切點(diǎn)和正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．