Question

已知f（t）=log₂t，t∈[

2

，8]對(duì)f（t）值域內(nèi)所有實(shí)數(shù)m都成立，不等式x²+（m-4）x+4-2m＞0恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由t∈[

2

，8]，得f（t）∈[

1

2

，3]，x≠2．令g（m）=m（x-2）+（x-2）²，m∈[

1

2

，3]，問題轉(zhuǎn)化為g（m）在m∈[

1

2

，3]上恒大于0，運(yùn)用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，由此能求出x的取值范圍．

解答： 解：∵t∈[

2

，8]，∴f（t）∈[

1

2

，3]
原題轉(zhuǎn)化為：m（x-2）+（x-2）²＞0恒成立，為m的一次函數(shù)，
當(dāng)x=2時(shí)，不等式不成立．
∴x≠2．令g（m）=m（x-2）+（x-2）²，m∈[

1

2

，3]，
問題轉(zhuǎn)化為g（m）在m∈[

1

2

，3]上恒大于0，
則：

g( 1 2 )＞0 g(3)＞0

，即

(x-2)(x- 3 2 )＞0 (x-2)(x+1)＞0

，即有

x＞2或x＜ 3 2 x＞2或x＜-1

．
解得：x＞2或x＜-1．
則有x的取值范圍是（-∞，-1）∪（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式恒成立問題，是中檔題，解題時(shí)要注意對(duì)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用和構(gòu)造一次函數(shù)，運(yùn)用圖象和性質(zhì)解題．