Question

7．某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其指標(biāo)值來衡量，其指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為A配方和B配方）做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測量了每件產(chǎn)品的指標(biāo)值，得到了下面的試驗(yàn)結(jié)果：
A配方的頻數(shù)分布表

指標(biāo)值分組	[90，94）	[94，98）	[98，102）	[102，106）	[106，110]
頻數(shù)	8	20	42	22	8

B配方的頻數(shù)分布表

指標(biāo)值分組	[90，94）	[94，98）	[98，102）	[102，106）	[106，110]
頻數(shù)	4	12	42	32	10

（1）分別估計(jì)用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；
（2）已知用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤y（單位：元）與其指標(biāo)值t的關(guān)系式為y=$\left\{\begin{array}{l}{-2，y＜94}\\{2，94≤t＜102}\\{4，t≥102}\end{array}\right.$，估計(jì)用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0的概率，并求用B配方生產(chǎn)的上述產(chǎn)品平均每件的利潤．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的樣本容量和兩種配方的優(yōu)質(zhì)的頻數(shù)，兩個(gè)求比值，得到用兩種配方的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值．
（2）根據(jù)題意得到變量對(duì)應(yīng)的數(shù)字，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件和第一問的結(jié)果寫出變量對(duì)應(yīng)的概率，寫出分布列和這組數(shù)據(jù)的期望值．

解答 解：（1）由試驗(yàn)結(jié)果知，用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)的頻率為$\frac{22+8}{100}$=0.3
∴用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.3．
由試驗(yàn)結(jié)果知，用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為$\frac{32+10}{100}$=0.42
∴用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.42；
（2）用B配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中，其質(zhì)量指標(biāo)值落入?yún)^(qū)間
[90，94），[94，102），[102，110]的頻率分別為0.04，0.54，0.42，
∴P（X=-2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42，
即X的分布列為

X	-2	2	4
P	0.04	0.54	0.42

∴X的數(shù)學(xué)期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68．

點(diǎn)評(píng) 本題考查隨機(jī)抽樣和樣本估計(jì)總體的實(shí)際應(yīng)用，考查頻數(shù)，頻率和樣本容量之間的關(guān)系，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，本題是一個(gè)綜合問題．