Question

18．定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)f（x），?x∈（0，+∞），f[f（x）-lnx]=1，則方程f（x）-f′（x）=1的解所在區(qū)間是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{2}}$）
• B． （${\frac{1}{2}$，1）
• C． （1，2）
• D． （2，3）

Answer 1

分析 由設(shè)t=f（x）-lnx，則f（x）=lnx+t，又由f（t）=1，求出f（x）=lnx+1，則方程f（x）-f′（x）=1的解可轉(zhuǎn)化成方程lnx-$\frac{1}{x}$=0的解，根據(jù)零點存在定理即可判斷．

解答 解：令f（x）-lnx=t，由函數(shù)f（x）單調(diào)可知t為正常數(shù)，
則f（x）=t+lnx，且f（t）=1，即t+lnt=1，
解：根據(jù)題意，對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-lnx]=1，
又由f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，
則f（x）-lnx為定值，
設(shè)t=f（x）-lnx，
則f（x）=lnx+t，
又由f（t）=1，
即lnt+t=1，
解得：t=1，
則f（x）=lnx+1，f′（x）=$\frac{1}{x}$，
∴f（x）-f′（x）=lnx+1-$\frac{1}{x}$=1，
即lnx-$\frac{1}{x}$=0，
則方程f（x）-f′（x）=1的解可轉(zhuǎn)化成方程lnx-$\frac{1}{x}$=0的解，
令h（x）=lnx-$\frac{1}{x}$，
而h（2）=ln2-$\frac{1}{2}$＞0，h（1）=ln1-1＜0，
∴方程lnx-$\frac{1}{x}$=0的解所在區(qū)間為（1，2），
∴方程f（x）-f′（x）=e的解所在區(qū)間為（1，2），
故選：C．

點評 本題考查了導數(shù)的運算和零點存在定理，關(guān)鍵是求出f（x），屬于中檔題．