Question

13．如圖，AB是圓O的直徑，弦BD、CA的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)M，MN垂直BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N．
（1）求證：DA是∠CDN的角平分線(xiàn)；
（2）求證：BM²=AB²+AM²+2AB•AN．

Answer 1

分析 （1）由AB是圓O的直徑，得∠ADM=90°，又MN垂直BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N，得∠ANM=90°，可得M、N、A、D四點(diǎn)共圓，然后利用等量關(guān)系求得∠ADC=∠ADN，
可得DA是∠CDN的角分線(xiàn)；
（2）由M、N、A、D四點(diǎn)共圓，得AB•NB=BM•BD，B、C、A、D四點(diǎn)共圓，得MD•MB=MA•MC，聯(lián)立可得MD•MB+MB•BD=MA•MC+AB•BN，從而得
得BM²=MA²+AB²+MA•AC+AB•AN，再由B、C、M、N四點(diǎn)共圓，得MA•AC=AB•AN，可得BM²=AB²+AM²+2AB•AN．

解答 證明：（1）∵AB是圓O的直徑，∴AD⊥BD，即∠ADM=90°，
又MN垂直BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N，即∠ANM=90°，
∴M、N、A、D四點(diǎn)共圓，
∴∠MDN=∠NAM，
∵∠BAC=∠NAM，∠BAC=∠BDC，∴∠BDC=∠MDN，
又∠ADM=∠ADB=90°，∴∠ADC=∠ADN，
∴DA是∠CDN的角分線(xiàn)；
（2）∵M(jìn)、N、A、D四點(diǎn)共圓，
∴AB•NB=BM•BD，①
∵B、C、A、D四點(diǎn)共圓，
∴MD•MB=MA•MC，②
①+②有：
MD•MB+MB•BD=MA•MC+AB•BN，
得BM²=MA•（MA+AC）+AB•（AB+AN）=MA²+AB²+MA•AC+AB•AN，
∵B、C、M、N四點(diǎn)共圓，∴MA•AC=AB•AN，
∴BM²=AB²+AM²+2AB•AN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段，考查了四點(diǎn)共圓的條件，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，是中檔題．