Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=ax+$\frac{1}{2}$xln²x．
（1）若a=0，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若x∈[1，e]時(shí)，有f（x）≤ax²成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過將a=0代入化簡可知f（x）=$\frac{1}{2}$xln²x，進(jìn)而求導(dǎo)，解不等式f′（x）＞0即得結(jié)論；
（2）通過分析，問題轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)x∈（1，e]時(shí)a≥$\frac{l{n}^{2}x}{2（x-1）}$恒成立即可，令g（x）=$\frac{l{n}^{2}x}{2（x-1）}$，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求（1，e]上g（x）的最大值問題，求導(dǎo)、計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，當(dāng)a=0時(shí)f（x）=$\frac{1}{2}$xln²x，
求導(dǎo)，可知f′（x）=$\frac{1}{2}$ln²x+$\frac{1}{2}$x•2lnx•$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{2}$ln²x+lnx=$\frac{1}{2}$（lnx+1）²-$\frac{1}{2}$，
令f′（x）＞0即（lnx+1）²＞1，解得：x＞1或0＜x＜$\frac{1}{{e}^{2}}$，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：（1，+∞）和（0，$\frac{1}{{e}^{2}}$）；
（2）依題意，當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，有ax+$\frac{1}{2}$xln²x≤ax²成立，
∴當(dāng)x∈[1，e]時(shí)$\frac{1}{2}$ln²x≤a（x-1）恒成立，
又∵當(dāng)x=1時(shí)，顯然成立；
∴只需證明當(dāng)x∈（1，e]時(shí)a≥$\frac{l{n}^{2}x}{2（x-1）}$恒成立即可，
令g（x）=$\frac{l{n}^{2}x}{2（x-1）}$，則g′（x）=$\frac{\frac{4（x-1）lnx}{x}-2l{n}^{2}x}{4（x-1）^{2}}$=$\frac{lnx}{2x（x-1）^{2}}$•[2（x-1）-xlnx]，
令h（x）=2（x-1）-xlnx，則h′（x）=2-lnx-1=1-lnx，
∵x∈（1，e]，
∴l(xiāng)nx∈（0，1]，h′（x）=1-lnx∈（-1，0]，
∴h（x）≥h（e）=2（e-1）-elne=e-2＞0，
∴g′（x）＞0，即g（x）=$\frac{l{n}^{2}x}{2（x-1）}$在（1，e]上單調(diào)遞增，
∴g_max（x）=g（e）=$\frac{l{n}^{2}e}{2（e-1）}$=$\frac{1}{e-1}$，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{e-1}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究閉區(qū)間上的最值，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．