Question

已知f（x）=

3

2

sin2x+cos2x-

3

2

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，方程f（x）-m=0有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）先化簡(jiǎn)求得解析式f(x)=sin(2x+

π

6

)-1，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）先求得2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，從而可得f(x)∈[-

3

2

，0]，由f（x）=m，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f(x)=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

-

3

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x-1=sin(2x+

π

6

)-1
∴f(x)=sin(2x+

π

6

)-1…（2分）
∴最小正周期為π…（4分）
令∴z=2x+

π

6

．函數(shù)f（x）=sinz-1的單調(diào)遞增區(qū)間是[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，k∈Z，
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，
得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z…（6分）
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，
f(x)∈[-

3

2

，0]，
∵f（x）=m，
∴m∈[-

3

2

，0]…（12分）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．