Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）在R上存在導(dǎo)函數(shù)f′（x），對于任意的實(shí)數(shù)x，有f（x）=3x²-f（-x），當(dāng)x∈（-∞，0）時，f′（x）+$\frac{1}{2}$＜3x，若f（m+3）-f（-m）≤9m+$\frac{27}{2}$，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． [-$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． [-$\frac{3}{2}$，+∞）
• C． [-1，+∞）
• D． [-2，+∞）

Answer 1

分析 利用構(gòu)造法設(shè)g（x）=f（x）-$\frac{3}{2}$x²，推出g（x）為奇函數(shù)，判斷g（x）的單調(diào)性，然后推出不等式得到結(jié)果．

解答 解：∵f（x）=3x²-f（-x），
∴f（x）-$\frac{3}{2}$x²+f（-x）-$\frac{3}{2}$x²=0，
設(shè)g（x）=f（x）-$\frac{3}{2}$x²，則g（x）+g（-x）=0，
∴函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．
∵x∈（-∞，0）時，f′（x）+$\frac{1}{2}$＜3x，
g′（x）=f′（x）-3x＜-$\frac{1}{2}$，
故函數(shù)g（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，
故函數(shù)g（x）在（0，+∞）上也是減函數(shù)，
若f（m+3）-f（-m）≤9m+$\frac{27}{2}$，
則f（m+3）-$\frac{3}{2}$（m+3）²≤f（-m）-$\frac{3}{2}$m²，
即g（m+3）＜g（-m），
∴m+3≥-m，解得：m≥-$\frac{3}{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，難度比較大．