Question

18．如圖，正四棱錐P-ABCD的體積為2，底面積為6，E為側(cè)棱PC的中點(diǎn)，則異面直線PA與BE所成的角為60^°．

Answer 1

分析 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AB=a，則a²=6，解得a=$\sqrt{6}$．又$\frac{1}{3}×6×OP$=2，解得OP=1．再利用向量夾角公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答 解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)AB=a，則a²=6，解得a=$\sqrt{6}$．
又$\frac{1}{3}×6×OP$=2，解得OP=1．
∴A（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），P（0，0，1），B（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），C（-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），E$（-\frac{\sqrt{6}}{4}，\frac{\sqrt{6}}{4}，\frac{1}{2}）$．
∴$\overrightarrow{PA}$=$（\frac{\sqrt{6}}{2}，-\frac{\sqrt{6}}{2}，-1）$，$\overrightarrow{BE}$=$（-\frac{3\sqrt{6}}{4}，-\frac{\sqrt{6}}{4}，\frac{1}{2}）$．
∴cos$＜\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{BE}＞$=$\frac{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{BE}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{4}×\sqrt{4}}$=-$\frac{1}{2}$．
∴$＜\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{BE}＞$=120^°．
∴異面直線PA與BE所成的角為60^°．
故答案為：60^°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系、異面直線所成的角、向量夾角公式、四棱錐的體積計(jì)算公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．