Question

已知點(diǎn)F是拋物線y²=2px的焦點(diǎn)，其中p是正常數(shù)，AB，CD都是拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的弦，且AB⊥CD，AB的斜率為k，且k＞0，C，A兩點(diǎn)在x軸上方．
（1）求

1

|AB|

+

1

|CD|

；
（2）①當(dāng)|AF|•|BF|=

4

3

p²時(shí)，求k；
②設(shè)△AFC與△BFD的面積之和為S，求當(dāng)k變化時(shí)S的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB：y=k(x-

p

2

)，由

y2=2px y=k(x- p 2 )

，得k2x2-p(k2+2)x+

1

4

k2p2=0，由此利用韋達(dá)定理、拋物線定義，結(jié)合已知條件得

1

|AB|

+

1

|CD|

=

1

2p

．
（2）①|AF|•|BF|=(x1+

p

2

)(x2+

p

2

)=x1x2+

p

2

(x1+x2)+

p2

4

=

p2

2

+

k2+2

k2

•

p2

2

=

k2+1

k2

•p2，由此能求出k=

3

．
②由|CF|•|DF|=（k²+1）p²，|AF|•|BF|=

k2+1

k2

•p2，能求出當(dāng)k=1時(shí)，S有最小值2p²．

解答： 解：（1）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB：y=k(x-

p

2

)
由

y2=2px y=k(x- p 2 )

，得k2x2-p(k2+2)x+

1

4

k2p2=0，
由韋達(dá)定理，得：x1+x2=

k2+2

k2

p，x1•x2=

p2

4

…（2分）
由拋物線定義得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=

k2+1

k2

2p
同理，用-

1

k

換k，得|CD|=(k2+1)2p，
∴

1

|AB|

+

1

|CD|

=

1

2p

．…（5分）
（2）①|AF|•|BF|=(x1+

p

2

)(x2+

p

2

)=x1x2+

p

2

(x1+x2)+

p2

4

=

p2

2

+

k2+2

k2

•

p2

2

=

k2+1

k2

•p2…（8分）
當(dāng)|AF|•|BF|=

4

3

p2時(shí)，

k2+1

k2

•p2=

4

3

p2，
又k＞0，解得k=

3

…（9分）
②由①同理知|CF|•|DF|=（k²+1）p²，
|AF|•|BF|=

k2+1

k2

•p2，
由變形得|BF|=

k2+1

k2

p2

|AF|

，|CF|=

(k2+1)•p2

|DF|

，…（10分）
又AB⊥CD，
∴S=

1

2

|AF|•|CF|+

1

2

|BF|•|DF|=

1

2

[

|AF|

|DF|

(k2+1)+

|DF|

|AF|

k2+1

k2

]p2…（12分）≥

(k2+1)(1+ 1 k2 )

p2≥

2k 2 k

p2=2p2
∴當(dāng)k=1時(shí)，S有最小值2p²…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查

1

|AB|

+

1

|CD|

的求法，考查直線斜率的求法，考查兩個(gè)三角形的面積之和的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．