Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$，設(shè)f（n）=a_n（n∈N₊），求證：$\frac{1}{2}$≤a_n＜1．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）的解析式求出a_n=f（n），利用分離常數(shù)法化簡(jiǎn)a_n，利用a_n的單調(diào)性和n∈N₊判斷出$\frac{1}{2}$≤a_n＜1．

解答 證明：由題意得，f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$，
∴a_n=f（n）=$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$=$\frac{{n}^{2}+1-1}{{n}^{2}+1}$=1-$\frac{1}{{n}^{2}+1}$，
∵n∈N₊，∴$\frac{1}{{n}^{2}+1}$隨n的增大而減小，則$0＜\frac{1}{{n}^{2}+1}≤\frac{1}{2}$，
∴$-\frac{1}{2}≤-\frac{1}{{n}^{2}+1}＜0$，則$\frac{1}{2}≤1-\frac{1}{{n}^{2}+1}＜1$，
即$\frac{1}{2}$≤a_n＜1成立．

點(diǎn)評(píng) 本題是函數(shù)與數(shù)列結(jié)合的題，考查了利用數(shù)列的單調(diào)性求通項(xiàng)公式的范圍，以及分離常數(shù)法，屬于中檔題．