Question

13．已知點P是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）右支上一點，F(xiàn)₁、F₂分別為雙曲線的右、右焦點，若I為△PF₁F₂的內(nèi)心，則S_△IPF1-S_△IPF2=$\frac{a}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}{S_{△I{F_1}{F_2}}}$成立．請類比該結論得出有關橢圓的一個結論并進行證明．

Answer 1

分析 設△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑為r，由|PF₁|+|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c，|PF₁|+|PF₂|=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}$•2c用△PF₁F₂的邊長和r表示出三角形的面積，即可得出結論．

解答 解：類比該結論得出有關橢圓的一個結論：${S}_{△IP{F}_{1}}$+${S}_{△IP{F}_{2}}$=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}$•${S}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$，設△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑為r，由雙曲線的定義得|PF₁|+|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c，|PF₁|+|PF₂|=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}$•2c
${S}_{△IP{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁|•r，${S}_{△IP{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₂|•r，•${S}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•2c•r=cr，
∴$\frac{1}{2}$|PF₁|•r+|PF₂|•r=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}$••${S}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$，
∴${S}_{△IP{F}_{1}}$+${S}_{△IP{F}_{2}}$=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}$••${S}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$．

點評 本題考查類比推理，考查雙曲線、橢圓的定義和簡單性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求出參數(shù)的值，屬于基礎題．