Question

17．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{7a}{x}$，a∈R．
（1）若函數(shù)y=f（x）在其定義域內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)y=f（x）在[e，e²]上的最小值為3，求實數(shù)a的值．（e是自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

分析 （1）求出${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}-\frac{7a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-7a}{{x}^{2}}$，x＞0，根據(jù)a≤0和a＞0兩種情況分類討論，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)a的取值范圍．
（2）根據(jù)a≤0、a≥$\frac{{e}^{2}}{7}$、$\frac{e}{7}＜a＜\frac{{e}^{2}}{7}$三種情況分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)a的值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{7a}{x}$，a∈R，
∴${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}-\frac{7a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-7a}{{x}^{2}}$，x＞0，
當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0，
∴f（x）遞增，f（x）值域為R，此時函數(shù)y=f（x）在其定義域內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)；
當(dāng)a＞0時，f（x）在（0，7a）內(nèi)遞減，在（7a，+∞）內(nèi)遞增，
∵f（x）在其定義域內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)，
∴f（7a）=ln（7a）+$\frac{7a}{7a}=0$，解得a=$\frac{1}{7e}$．
綜上，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]∪{$\frac{1}{7e}$}．
（2）當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）遞增，∴函數(shù)f（x）在[e，e²]上的最小值為f（e），
∵函數(shù)y=f（x）在[e，e²]上的最小值為3，∴f（e）=1+$\frac{7a}{e}$=3，
此時a無解．
若a≥$\frac{{e}^{2}}{7}$，則f（x）在[e，e²]遞減，∴函數(shù)f（x）在[e，e²]上的最小值為f（e²），
∵函數(shù)y=f（x）在[e，e²]上的最小值為3，
∴f（e²）=2+$\frac{7a}{{e}^{2}}$=3，解得a=$\frac{{e}^{2}}{7}$．
若$\frac{e}{7}＜a＜\frac{{e}^{2}}{7}$，則f（x）在[e，e²]的最小值為f（7a），
∵函數(shù)y=f（x）在[e，e²]上的最小值為3，
∴f（7a）=ln（7a）+1=2，此時無解．
綜上，a=$\frac{{e}^{2}}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查實數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和分類討論思想的合理運(yùn)用．