Question

已知函數(shù)f（x）=x³-6x²+9x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若a≤2，當(dāng)x∈[a，a+1]時(shí)，求f（x）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意求導(dǎo)f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）討論a的取值以確定函數(shù)在區(qū)間[a，a+1]上的單調(diào)性，從而求f（x）的最大值．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），
故當(dāng)x＜1或x＞3時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)1＜x＜3時(shí)，f′（x）＜0；
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1），（3，+∞）；
單調(diào)減區(qū)間為（1，3）；
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極大值f（1）=4；
當(dāng)x=3時(shí)，f（x）取得極大值f（3）=0；
（2）當(dāng)a+1＜1，即a＜0時(shí)，f（x）在[a，a+1]上單調(diào)遞增，
所以f_max（x）=f（a+1）=a³-3a²+4；
當(dāng)a＜1≤a+1，即0≤a＜1時(shí)，f（x）在[a，a+1]上先增后減，
所以f_max（x）=f（1）=4；
當(dāng)1≤a≤2時(shí)，f（x）在[a，a+1]上單調(diào)遞減，
所以f_max（x）=f（a）=a³-6a²+9a；
綜上所述，f_max（x）=

a3-3a2+4，a＜0 4，0≤a＜1 a3-6a2+9a，1≤a≤2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用，屬于中檔題．