Question

在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（-1，0），B（1，0），平面內(nèi)兩點(diǎn)G，M同時(shí)滿足一下條件：
①

GA

+

GB

+

GC

=

0

；②|

MA

|=|

MB

|=|

MC

|；③

GM

∥

AB

．
（1）求△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)P（3，0）的直線l與（1）中的軌跡交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求

PE

•

PF

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)|

MA

|=|

MB

|，可得M在線段AB的中垂線上，從而可得M的坐標(biāo)，利用

GA

+

GB

+

GC

=

0

可得重心坐標(biāo)與C坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用|

MB

|=|

MC

|，即可得到定點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）設(shè)直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，表示出

PE

•

PF

，結(jié)合由△＞0，即可求得

PE

•

PF

的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)C（x，y），G（x₀，y₀），M（x_m，y_m）
∵|

MA

|=|

MB

|，∴M在線段AB的中垂線上，
∵A（-1，0），B（1，0），∴x_m=0
∵

GM

∥

AB

，∴y_m=y₀…．（2分）
∵

GA

+

GB

+

GC

=

0

，∴（-1-x₀，-y₀）+（1-x₀，-y₀）+（x-x₀，y-y₀）=（0，0）
∴x0=

x

3

，y0=

y

3

，ym=

y

3

…．（4分）
∵|

MB

|=|

MC

|，∴

(1-0)2+(0- y 3 )2

=

(x-0)2+(y- y 3 )2

，即x2+

y2

3

=1(y≠0)
所以定點(diǎn)C的軌跡方程為x2+

y2

3

=1(y≠0)…．（6分）
（2）設(shè)直線l的方程為：y=k（x-3），E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）
由

y=k(x-3) 3x2+y2=3

消去y得：（k²+3）x²-6k²x+9k²-3=0①
∴x1+x2=

6k2

k2+3

，x1x2=

9k2-3

k2+3

…．（8分）
∴

PE

•

PF

=(x1-3)(x2-3)+y1y2=(k2+1)[x1x2-3(x1+x2)+9]=24-

48

k2+3

…．（10分）
由△＞0得k2＜

3

8

，k≠0，∴3＜k2+3＜

27

8

∴

PE

•

PF

的取值范圍為(8，

88

9

)…．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查曲線的軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，正確運(yùn)用向量知識(shí)是關(guān)鍵．