Question

19．圓C經(jīng)過直線x+y-1=0與x²+y²=4的交點(diǎn)，且圓C的圓心為（-2，-2），則過點(diǎn)（2，4）向圓C作切線，所得切線方程為x=2和5x-12y+38=0．

Answer 1

分析 設(shè)出經(jīng)過直線x+y-1=0與x²+y²=4的交點(diǎn)的圓系方程，由圓心坐標(biāo)求出λ，得到圓的方程，然后分切線的斜率存在和不存在求得圓的切線方程．

解答 解：設(shè)過直線x+y-1=0與x²+y²=4的交點(diǎn)的圓的方程為x²+y²-4+λ（x+y-1）=0，
即x²+y²+λx+λy-4-λ=0，∴圓心坐標(biāo)為（$-\frac{λ}{2}，-\frac{λ}{2}$），
∵圓C的圓心為（-2，-2），∴$-\frac{λ}{2}=-2$，得λ=4．
∴圓C的方程為x²+y²+4x+4y-8=0，即（x+2）²+（y+2）²=16．如圖，
過點(diǎn)（2，4）向圓C作切線，當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，
切線方程為x=2；
當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y-4=k（x-2），
即kx-y-2k+4=0．
由圓心到切線的距離d=$\frac{|-2k-1×（-2）-2k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=4$，解得k=$\frac{5}{12}$．
∴切線方程為$\frac{5}{12}x-y-2×\frac{5}{12}+4=0$，即5x-12y+38=0．
綜上，所求圓的切線方程為x=2和5x-12y+38=0．
故答案為：x=2和5x-12y+38=0．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查圓的切線方程的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．