Question

11．設(shè)非零向量$\overrightarrow m$，$\overrightarrow n$，θ=＜$\overrightarrow m，\overrightarrow n＞$，規(guī)定：$\overrightarrow m$?$\overrightarrow n$=|$\overrightarrow m$||$\overrightarrow n$|sinθ，點(diǎn)M，N分別是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，且$\overrightarrow{OM}$?$\overrightarrow{ON}$=$\sqrt{3}$，離心率e=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C與直線y=kx+m交于不同兩點(diǎn)P，Q，又點(diǎn)A（0，-1），當(dāng)|AP|=|AQ|時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用新定義得到ab的方程，利用離心率以及橢圓中a、b、c的關(guān)系，求解a，b即可得到橢圓的方程．
（2）①當(dāng)k=0時(shí)，-1＜m＜1②當(dāng)k≠0時(shí)，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{3}+{y^2}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$，消去y，利用判別式，推出m²＜1+3k²，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點(diǎn)R（x₀，y₀）利用韋達(dá)定理求出中點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)|AP|=|AQ|時(shí)，點(diǎn)A，R在PQ的中垂線上，求出PQ的中垂線方程為：$y=-\frac{1}{k}x-1$，代入得到2m=3k²+1，然后求解m的范圍．

解答 解：（1）由題意可得：M（0，b），N（a，0），
∴$\overrightarrow{OM}?\overrightarrow{ON}=|\overrightarrow{OM}||\overrightarrow{ON}|sin\frac{π}{2}=ab=\sqrt{3}$，
又$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，且a²=b²+c²，
∴a²=3，b²=1，
∴橢圓C的方程為：$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．
（2）由條件知A（0，-1）為橢圓下頂點(diǎn)
①當(dāng)k=0時(shí)，-1＜m＜1；
②當(dāng)k≠0時(shí)，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{3}+{y^2}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$，消去y可得：（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
∴△=36k²m²-4（3k²+1）（3m²-3）＞0
∴m²＜1+3k²
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點(diǎn)R（x₀，y₀）
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{6km}{{3{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{3{m^2}-3}}{{3{k^2}+1}}$
∴${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{3km}{{3{k^2}+1}}$${y_0}=k{x_0}+m=\frac{m}{{3{k^2}+1}}$，即$R（-\frac{3km}{{3{k^2}+1}}，\frac{m}{{3{k^2}+1}}）$
當(dāng)|AP|=|AQ|時(shí)，點(diǎn)A，R在PQ的中垂線上
據(jù)題意可得PQ的中垂線方程為：$y=-\frac{1}{k}x-1$
∴$\frac{m}{{3{k^2}+1}}=-\frac{1}{k}•（-\frac{3km}{{3{k^2}+1}}）-1$
∴2m=3k²+1
故$\left\{\begin{array}{l}{m^2}＜2m\\ 2m＞1\end{array}\right.$，∴$\frac{1}{2}＜m＜2$
綜上m的范圍是（-1，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，范圍問題的求解的方法，設(shè)而不求的方法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．