Question

7．已知函數(shù)f（x）=（a+1）x-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在點P（1，f（1））處的切線與直線y=2x+1垂直，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在x∈（0，e]上的最小值為3，求實數(shù)a的值；
（Ⅲ）當x∈（0，e]時，證明：e²x²-xlnx＞lnx+$\frac{5}{2}$x．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，得到f′（1）=-$\frac{1}{2}$，求出a的值即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，通過討論f（x）的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，從而求出a的值；
（Ⅲ）令F（x）=e²x-lnx，令ω（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{5}{2}$，通過討論它們的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（a+1）x-lnx，f′（x）=a+1-$\frac{1}{x}$，
∴f′（1）=a=-$\frac{1}{2}$，即a=-$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）f′（x）=a+1-$\frac{1}{x}$=$\frac{（a+1）x-1}{x}$，
①0＜$\frac{1}{a+1}$＜e，即a＞e-1時，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{a+1}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a+1}$，
∴函數(shù)g（x）在（0，$\frac{1}{a+1}$）遞減，在（$\frac{1}{a+1}$，e]遞增，
∴f（x）_min=f（$\frac{1}{a+1}$）=1+ln（a+1）=3，解得：a=e²-1，滿足條件；
②$\frac{1}{a+1}$≥e，即a≤$\frac{1}{e}$-1時，f′（x）＜0，f（x）在（0，e]單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（e）=ae-1=3，解得：a=$\frac{4}{e}$-1（舍去）；
綜上，存在實數(shù)a=e²-1，使得x∈（0，e]時，函數(shù)f（x）有最小值3；
（Ⅲ）要證明e²x²-xlnx＞lnx+$\frac{5}{2}$x，
只需證明：e²x-lnx＞$\frac{lnx}{x}$+$\frac{5}{2}$，
令F（x）=e²x-lnx，由（Ⅱ）得：F（x）_min=3，
令ω（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{5}{2}$，ω′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
當0＜x≤e時，ω′（x）≥0，ω（x）在（0，e]遞增，
ω（x）的最大值是ω（e）=$\frac{1}{e}$+$\frac{5}{2}$，
而3-$\frac{1}{e}$-$\frac{5}{2}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{e}$＞0，
故F（x）＞ω（x），
故e²x-lnx＞$\frac{lnx}{x}$+$\frac{5}{2}$，
即：e²x²-xlnx＞lnx+$\frac{5}{2}$x．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題以及導數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．