Question

如圖，PA⊥平面ABCD，矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=1，BC=2，E為BC的中點(diǎn)．若PA=2，求異面直線AE與PD所成的角的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：首先根據(jù)已知條件求出線面垂直，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成線線垂直，通過平行線做出異面直線的夾角的平面角，最后利用余弦定理求出結(jié)果，最后確定夾角的大小．

解答： 解：（1）連接AE，由AB=BE=1，得AE=

2

，同理DE=

2

，
所以：AE²+DE²=4=AD²，由勾股定理逆定理得：∠AED=90°，
所以：DE⊥AE．
由PA⊥平面ABCD，得PA⊥DE，由DE⊥AE，PA⊥DE，PA交AE于A，得DE⊥平面PAE．
所以：PE⊥DE．
 取PA的中點(diǎn)M，AD的中點(diǎn)N，連接MC、NC、MN、AC．
則：NC∥AE，MN∥PD，
所以：∠MNC的大小等于異面直線PD與AE所成的角或其補(bǔ)角的大小．
由PA=2，AB=1，BC=2，得NC=MN=

2

，MC=

6

，
所以：cos∠MNC=

2+2-6

2• 2 • 2

=-

1

2

，
∠MNC=

2π

3

．
所以異面直線PD與AE所成的角的大小為

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：線面垂直的性質(zhì)定理與判定定理，異面直線的夾角的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．