Question

如圖所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥BC₁；
（2）求證：AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理證明AC⊥BC，證明C₁C⊥底面ABC，可得AC⊥CC₁ ，由線面垂直的判定定理證得AC⊥平面BCC₁B₁ ，從而證得AC⊥BC₁．
（2）設(shè)BC₁∩B₁C=O，由三角形的中位線性質(zhì)可得OD∥AC₁，從而利用線面平行的判定定理證明AC₁∥平面CDB₁．

解答：證明：（1）∵AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC．
又∵C₁C∥AA₁，AA₁⊥底面ABC，∴C₁C⊥底面ABC，∴AC⊥CC₁ ．
又BC∩CC₁=C，∴AC⊥平面BCC₁B₁ ．
而BC₁?平面BCC₁B₁，∴AC⊥BC₁ ．
（2）設(shè)BC₁∩B₁C=O，則O為BC₁的中點(diǎn)，連接OD，
∵D為AB的中點(diǎn)，∴OD∥AC₁，
又∵OD?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．

點(diǎn)評：本題考查證明線線垂直、線面垂直、線面平行的方法，空間中直線與直線間的位置關(guān)系，屬于中檔題．